Генри Йен Кьюзек учился в Королевской Шотландской Академии музыки и актёрского мастерства, а затем присоединился к Народному театру, где играл свои первые главные роли, в том числе Дориана Грея в «Портрете Дориана Грея», Гамлета в «The Marowitz Hamlet» и Горнера в «The Country Wife». На Эдинбургском международном фестивале он играл Штольция в «Солдатах» и Тассо в «Торкуато Тассо», за что получил специальную премию Йена Чарльзона.

Кьюзек также играл Кассио в «Отелло», Деметрия в спектакле «Сон в летнюю ночь» и Помпея в постановке «Антоний и Клеопатра».

На телевидении Кьюзек появлялся в многочисленных британских фильмах. В США у него была временная роль в последнем сезоне сериала «24».

На большом экране его можно увидеть в фильме «Possession», а также в независимых фильмах «Half Light», «9/Tenths», «Ричард II» и «Контракт».